数据表示和存储

定点数和浮点数

• 计算机中只能通过约定小数点的位置来表示
  • 定点数——小数点位置约定在固定位置的数
  • 浮点数——小数点位置约定为可浮动的数
• 定点小数用来表示浮点数的尾数部分
• 定点整数用来表示整数 分为带符号整数和无符号整数
• 任何实数：$X=(-1)^S \times M \times R^E$ S表示正负；M为二进制定点小数，称为X的尾数；E是二进制定点整数，称为X的阶或指数；R是基数，可以为2、4、16等。只要表示S、M和E三个信息就能确定X的值，这称为浮点数。

定点数的编码表示

• 定点数的编码

• 原码、补码、移码、反码（很少用）

• 原码：正号0 负号1 其余二进制表示

  • 缺点：

    • 0的表示不唯一，不利于编程
    • 加减运算方式不同意
    • 需要额外对符号位进行处理，不利于硬件设计
    • 当a<b 实现a-b比较困难

    从50年代开始，整数都采用补码表示，但浮点数的尾数用原码定点小数表示

• 移码：将每一个数值加上一个偏置常数（Excess / Bias）

  • 通常当编码位数为n时，bias取$2^{n-1} 或2^{n-1}-1(如IEEE 754)$

    • Ex. n=4: $E_{biased} = E+2^3 (bias=2^3=1000B)$
      • -8(+8) ~ 0000B
      • -7(+8) ~ 0001B
      • …..
      • 0(+8) ~ 1000B
      • …..
      • +7(+8) ~ 1111B

  • 用移码来表示指数(阶码)便于浮点数加减运算时的对阶操作(比较大小)

    • Ex: $1.01\times 2 ^{-1}+1.11\times2 ^3$ $1.01\times2 ^{-1+4}+1.11\times2 ^{3+4}$
      • 补码：111(-1)<011(3)? 移码：011(3)<111(7)

• 补码：模运算 在一个模运算系统中，一个数与它除以“模”后的余数等价。

$10-4=6$
$10+8=18\equiv6 (mod 12)$
$10-4\equiv10+8 (mod 12)$
$-4\equiv8 (mod 12)$
$结论1：一个负数的补码等于模减该负数的绝对值$
$结论2：对于某一确定的模，某数减去小于模的另一数，总可以用该数加上另一数负数的补码来代替（在模运算中减法和加法可以转换）$
$Ex. 9828-1928=9828+(10^4-1928)$
$=9828+8072$
$=17900$
$=7900(mod 10^4)$

$[X]_补=2 ^n+X (-2 ^n<=X<2 ^n,mod 2 ^n)$ X是真值 $[X]_补$是机器数

$[-2 ^{n-1}]_补=2 ^n-2 ^{n-1}=10…0(n-1个0)$

$[-1]_补=2 ^n-0…01=11…1(n个1)$

$[+0]_补=[-0]_补=00…0(n个0)$

$[-01111011]_补=2 ^8-01111011=100000000-01111011=11111111-01111011+1=10000100+1=10000101=85H$

负数求补码 简便方法：从右向左遇到的第一个1的前面各位取反

变形补码：表示溢出(两位不同则为溢出) 8->1000(补码)->01000(变形补码)

求补码的真值：符号位0 数值部分相同；符号位1 负数，数值位取反 末尾加1

C语言中的整数

无符号整数(Unsigned integer)

• LSB(least significant bit)最低有效位 MSB最高有效位

• 一般在结果没有负值的场合用无符号数：地址运算，编号表示等等

带符号整数(Signed integer)

• 有三种编码表示

  • 原码：定点小数，用来表示浮点数的尾部
  • 移码：定点整数，用于表示浮点数的阶（指数）
  • 补码：50年代以来 所有计算机都用补码来表示带负号整数

• 为什么用补码表示带符号整数？

  • 补码运算系统是模运算系统，加减统一
  • 数0的表示唯一，方便使用
  • 比原码多表示一个最小负数

若同时有无符号和带符号整数，则C编译器将带符号整数强制转换为无符号数

浮点数的编码表示

第0位树符S；第1~8位位8位移码表示解码E（偏置常数为128）；第9~31位位24位二进制原码小数表示的尾数M。规格化尾数的小数点后第一位总是1，所以第一位默认1不明显表示出来。这样可用23个数位表示24位尾数。

最大正数：0.11…1 x $2 ^{11…1}$=(1-$2 ^{-24}$) x $2 ^{127}$
最小正数：0.10…0 x $2 ^{00…0}$=(1/2) x $2 ^{-128}$

不同机器浮点数表示不同，所以出现了IEEE 754

IEEE 754标准

Exponent(阶码)：

• SP规格化解码范围为0000 0001(-126) ~ 1111 1110(127)
• bias为127(single),1023(double)

Significand(尾数)：

• 规格化尾数最高位总是1，所以隐含表示，省1位
• 1+23 bits(single), 1+52 bits(double)

SP: $(-1) ^S \times (1+Significand) \times x ^{Exponent-127}$

DP: $(-1) ^S \times (1+Significand) \times x ^{Exponent-1023}$

例：float型变量x的机器数为BEE00000H，求x的值？

1011 1110 1110 0000 0000 0000 0000 0000

• 数符：1（负数）

• 阶（指数）：

  • 阶码：0111 1101 B = 125
  • 阶码的值：125-127 = -2

• 尾数数值部分：

  $1+1\times x ^{-1}+1 \times 2 ^{-2}+0 \times 2 ^{-3}+0 \times 2 ^{-4}…..$

  =$1+2 ^{-1}+2 ^{-2}=1+0.5+0.25=1.75$

• 真值=$1.75 \times 2 ^{-2}=-0.4375$

例：float变量x值为-12.75，求x的机器数是多少？

-12.75=-1100.11B=-1.10011B x $2 ^{3}$

因此，符号S=1

阶码E=127+3=128+2=1000 0010

显式表示的部分尾数Significant=100 1100 0000 0000 0000 0000

x机器数表示为：

1100 0001 0100 1100 0000 0000 0000 0000

转换为十六进制表示为：C14C0000H

规格化数

特殊数

非规格化数

$(-1) ^S \times 0.XXXXX \times 2^ {-126}$

非数值数据的编码表示

ASCII
0-30H
1-31H
A-41H
a-61H

汉字

输入码：对汉字用相应案件进行编码表示，用于输入
内码：用于再系统中进行存储、查找、传送等处理
字模点阵或轮廓描述：描述汉字字模点阵或轮廓，用于显示、打印

GB2312：94行94列，行号是区号，列位是位号，各为7位
区、位码上各加32（20H
得到两个字节编码 首位设为1，得到内码，避免与ASCII混淆

数据宽度和存储量的单位

位bit 字节byte（ 现代计算机 存储器按字节编址 字节是最小可寻址单位）

字(word) IA-32中 字 为16位 DWORD(双字 32位) QWORD（64位）

数据存储时的字节排序

大端——数据高位在地址低位——photoshop，JPEG，MacPaint

小端——数据低位在地址地位——GIF，PC Panintbrush，MS RTF

个人总结

• 正数的原码 反码 补码 全都相等（因为反码补码都是为了解决减法引入的）
• 负数 原码符号位为1其余一样 反码是原码取反 补码=反码+1
• 计算机内部计算是用补码计算

四、 乘除运算及浮点数运算

整数乘法运算

当n=4时 5的平方=-7 n为位数

在计算机内部，一个整数x的平方可能是负数，这是因为在计算机中其结果取的是x*x的低n位乘积而高n位中的有效数位被丢弃而造成的。

当 (!x || z/x==y) 为真时【x=0或者z除回去还成立】 z正确；当 $-2^{n-1} <= x*y < 2^{n-1}$ 时（就是不溢出时 当前位数能存 当然不会变），即：乘积的高n位为全0或全1，并等于低n位的最高位，即：乘积的高n+1位为全0或全1

如果是无符号数，只要判断乘积高n位是否全为0就能判断是否溢出

无符号加减运算和带符号加减运算是一样的

无符号乘法与带符号乘法低n位结果一样 高n位不一样（如果采取一样的指令 编译器就无法判断溢出了）（乘法指令不生产溢出标志，编译器可使用2n位成绩来判断是否溢出 PS：DX和AX的关系）

溢出漏洞：申请的数据溢出了，但是计数还是很大，覆盖很大的空间。

整数除法运算